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■ ランデン変換による第２種完全楕円積分の計算方法
第２種完全楕円積分は、以下の式です。
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（１） |
k を母数と呼びます。
（１）式で母数k がゼロになると、E(k) はπ/２になります。
そこで、母数k をゼロ近づける変換を繰り返せば、数値計算できることがわかります。この変換をランデン変換（Landen's Transformation）とよびます。
■ランデン変換による第２種完全楕円積分の数値計算方法
ランデン変換の1回目の恒等式は以下の式です。
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（２） |
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（３） |
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（４） |
k0’は補母数であり、k１ ’も同様に計算できます。
ｎ回目のランデン変換で母数をkｎ とすると、E（kｎ）およびkｎ＋１は以下の式として表せます。
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（５） |
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（６） |
K（kｎ+1）は、kｎ+1=０であればK(kn+1)=π/2なので以下を繰り返すことでK（k０）まで計算することが出来ます。
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（７） |
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（８） |
同様に、E（kｎ+1）は、kｎ+1＝０であればE(kn+1)＝π/2なので（６）、（７）、（８）式を使って（５）式を繰り返すことでE（k０）まで計算することが出来ます。実際に計算する場合は、あらかじめ（６）式でkｎ+1≒０になるまでkｎを順次計算しておきます。
■Excel Sheetへの入力例
ExcelシートでB3はk0 の値、セルB4～B10は（６）式を、C3～C10（３）式を、D3～D9は（８）式を、E3～E9は（２）式をそれぞれ入力しました。D10、E10はπ/2を入力しており、kn≒0 になるまで計算しています。答えE（k０）は、E3のセルです。
以下にExcelシートの計算式を示します。
■計算例
上記の式を用いて、Excel 2007を用いて計算しました。
・k0=0.1の場合 E(k0)=1.56686194202167
・k0=0.5の場合 E(k0)=1.46746220933943
・k0=0.9の場合 E(k0)=1.17169705278162
・k0=0.99999の場合 E(k0)=1.00006296197369
高精度計算サイトでの計算結果と比較して一致しなかったところを赤文字にしています。
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