第1種完全楕円積分

第１種完全楕円積分をExcelで計算する方法を解説します。ランデン変換による計算法です。

（１）

k を母数と呼びます。

■ランデン変換による計算方法
　　ランデン変換は 以下の式です。

（２）

（３）

　　この変換を繰り返します。（３）式からk₁ はk₀ より小さくなることがわかります。

２回ランデン変換を以下に示します。（２）、（３）式の繰り返しです

（４）

（５）

ｎ回ランデン変換は以下に示します。

（６）

（７）

ここで、k_n=0　の場合は（１）式よりK(k_n)=π/2なので

（８）

■Excel　Sheetへの入力例

ExcelシートでB3は　k₀ の値、セルB4～B7は（７）式を入力しました。
B12は（８）式を入力しました。k_n≒0　になるまで計算します。

Excel 2007を用いて計算しました。

・k₀=0.1の場合
　　　　k₁=2.51257867600905E-03
　　　　k₂=1.57826788263627E-06
　　　　k₃=6.22724094512638E-13
　　　　k₄=0

この結果を用いて（８）式で計算すると

K(k₀)=1.57474556151736

高精度計算サイトでの計算結果と比較すると、概ね小数点以下１3桁の精度があります。
　　　　　　　<赤文字が一致しなかったところです。>

・k₀=0.5の場合
　　　　k₁=7.17967697244909E-02
　　　　k₂=1.29202623999477E-03
　　　　k₃=4.1733329955795E-07
　　　　k₄=4.3520742565308E-14
　　　　k₅=0

この結果を用いて（８）式で計算すると
　　　K(k₀)=1.6857503548126

高精度計算サイトでの計算結果と比較すると、概ね小数点以下１2桁の精度があります。
　　　　　　<赤文字が一致しなかったところです。>

・k₀=0.9の場合
　　　　k₁=3.92864458385019E-01
　　　　k₂=4.18856860800388E-02
　　　　k₃=4.38987841605046E-04
　　　　k₄=4.81775859102948E-08
　　　　k₅=5.55111512312579E-16
　　　　k₆=0

この結果を用いて（８）式で計算すると
　　　K(k₀)=2.28054913842277

高精度計算サイトでの計算結果と比較すると、概ね小数点以下１4桁の精度があります。


・k₀=0.99999の場合
　　　　k₁=9.91095572163064E-01
　 　　 k₂=7.64987626950938E-01
　　　　k₃=2.16511731532548E-01
　　　　k₄=1.20023395295682E-02
　　　　k₅=3.6016632801294E-05
　　　　k₆=3.24299476267252E-10
　　　　k₇=0

この結果を用いて（８）式で計算すると
　　　K(k₀)=6.79621498443553

高精度計算サイトでの計算結果と比較すると、概ね小数点以下１1桁の精度があります。

　　　　　　　<赤文字が一致しなかったところです。