第1種完全楕円積分の数値計算のための理論式とＥｘｃｅｌで使える式の導出を詳しく説明します。
式を順番に追って行けば計算できるように計算過程も残しました。数値計算は0<k2<0.9の場合と
0.9≦k2＜１の場合に分けて計算式を示しました。
■計算式
第１種完全楕円積分は次の式です。
kを母数といいます。K(k) を次式のような展開式として近似できます。
（１）
■0<k2<0.9の場合は、（１）式を用いて求めます。
（１）式の収束は母数ｋ が小さいほど早くなります。
k=0.1とk=0.9場合を（１）の４項まで計算して比較すると感覚的にわかります
（２）
（３）
ｋ=0.1の場合は4項目が 10-8になっているので、たとえば10-4程度の精度であれば3項まで計算すれば良いことになります。
ｋ=0.9の場合は４項目が10-2であり、もっとたくさんの項を計算する必要がありそうです。
実際に計算しますと10-4の精度を得るためには２６項までの計算が必要でした。やはり、収束がかなり遅いことがわかります。
そういうことですから、母数k を小さくして計算して変換してK(k) を求める方法がよいことになります。
（１）の母数kを小さくする方法としてランデン変換 (Landen’s Transformation)があります。
ランデン変換は以下の式になります。
（４）
（５）
ここで(1)で求めたい母数ｋ =ｋ0とすると、ランデン変換に必要な母数はｋ1になります。
ためしに、k0=0.9の場合、k1を（５）式で計算するとk1=0.39になり母数が半分以下に小さくなりますので、収束が早まります。
計算方法は（５）式で計算したk1を使って（１）式でK(k1) を計算して、（４）式でK(k0) を求めます。
母数をさらに小さくするためには、ランデン変換を繰り返します。
'
■0.9≦k2＜１の場合は補母数k'を用いて（７）式で計算します。
（６）
（７）
ただし
（８）
母数k が大きくなると、（１）式の収束が遅くなるということを説明しました。
k2≧0.9になると、k はどんどん大きくなるので、（１）の収束はとても遅くなり使いにくくなります。
そこで、補母数（６）式の登場です。
補母数k'は、母数k が大きくなればなるほど小さくなりますのでｋが１に近づくときはとても有利です。
この補母数k'を使ってK(k') を計算すると収束がとても早くなります。
例えば、k=0.95の場合は、k'=0.31になり、k=0.99の場合はk'=0.14になります。
計算の方法は（６）の補母数k'を用いて（１）式でK(k')を計算し、K(k')を用いて（７）式でK(k)を計算します。
もちろん、K(k') もランデン変換するれば、さらに収束が早くなります。
（７）式は、ごちゃごちゃして計算が大変そうですが、母数k2≧0.9の場合の計算例で詳しく説明します。
以上が、第1種完全楕円積分の理論式の解説です。
■Ｅｘｃｅｌで使える第１種完全楕円積分の導出
●0<k2<0.9の場合
（１）、（４）、（５）式を使って、Ｅｘｃｅｌで簡単に使える第１種完全楕円積分の数値計算式を導出します。
この計算式はＥｘｃｅｌの１つのセルで全て計算できるようにしています。Ｅｘｃｅｌのセルは、１０２４文字までしか書けないので、ちょっと強引に計算式を導出しています。
母数kを２回ランデン変換して計算します。ランデン変換すると母数が小さくなり（１）の数値計算には有利です。
（９）
（１０）
（１１）
（１２）
このままでも、Ｅｘｃｅｌで計算できるのですが、Ｅｘｃｅｌの１つのセルで使える式をつくりたいので、（１２）式に（１１）式を代入します。（式の導出）
（１３）
（１４）
（１１）、（１３）、（１４）式を（１０）式に代入すれば、k0でK(k0)を求める式が出来ます。（１１）式の展開式は１５項まで計算しました。（ζ=k0)
=PI()*(1+0.25*((1-(1-ζ^2)^(1/4))/(1+(1-ζ^2)^(1/4)))^4+0.140625*((1-(1-ζ^2)^(1/4))/(1+(1-ζ^2)^(1/4)))^8+0.09765625*((1-(1-ζ^2)^(1/4))/(1+(1-ζ^2)^(1/4)))^12+0.07476806640625*((1-(1-ζ^2)^(1/4))/(1+(1-ζ^2)^(1/4)))^16+0.060562133789063*((1-(1-ζ^2)^(1/4))/(1+(1-ζ^2)^(1/4)))^20+0.050889015197754*((1-(1-ζ^2)^(1/4))/(1+(1-ζ^2)^(1/4)))^24+0.043878793716431*((1-(1-ζ^2)^(1/4))/(1+(1-ζ^2)^(1/4)))^28+0.038565346039832*((1-(1-ζ^2)^(1/4))/(1+(1-ζ^2)^(1/4)))^32+0.034399336436763*((1-(1-ζ^2)^(1/4))/(1+(1-ζ^2)^(1/4)))^36+0.031045401134179*((1-(1-ζ^2)^(1/4))/(1+(1-ζ^2)^(1/4)))^40+0.028287235330936*((1-(1-ζ^2)^(1/4))/(1+(1-ζ^2)^(1/4)))^44+0.025979075503585*((1-(1-ζ^2)^(1/4))/(1+(1-ζ^2)^(1/4)))^48+0.024019115665297*((1-(1-ζ^2)^(1/4))/(1+(1-ζ^2)^(1/4)))^52+0.022334101173471*((1-(1-ζ^2)^(1/4))/(1+(1-ζ^2)^(1/4)))^56+0.02086997676321*((1-(1-ζ^2)^(1/4))/(1+(1-ζ^2)^(1/4)))^60)/(1+SQRT(1-ζ^2))*(1+((1-(1-ζ^2)^(1/4))/(1+(1-ζ^2)^(1/4)))^2)
下線部が(1+k1)(1+k2)の式の部分です。
●0.9≦k2＜１の場合
（７）式でk=k0、k’=k0’とよみかえて、 K(k0') を１回ランデン変換します。
（１５）
（１６）
母数（１７）
補母数（１８）
（１９）
（７）式１項には（１６）におよび（１８）式を代入し、さらに（１９）式を代入してk0の式にします。
（７）式展開式は１５項まで計算しました。
（７）式の２項目はｎを１４として計算し定数をλnとします。λｎは母数k2≧0.9の場合の計算例に示しました。
これに（１８）式を代入します。
（２０）
以上の式を整理して、k0でK(k0)を求める式が出来ました。（ζ=k0)
=-1*(LN((1-ζ^2)/16)*(1+((1-ζ)/(1+ζ)))*(1+0.25*((1-ζ)/(1+ζ))^2+0.140625*((1-ζ)/(1+ζ))^4+0.09765625*((1-ζ)/(1+ζ))^6+0.07476806640625*((1-ζ)/(1+ζ))^8+0.060562133789063*((1-ζ)/(1+ζ))^10+0.050889015197754*((1-ζ)/(1+ζ))^12+0.043878793716431*((1-ζ)/(1+ζ))^14+0.038565346039832*((1-ζ)/(1+ζ))^16+0.034399336436763*((1-ζ)/(1+ζ))^18+0.031045401134179*((1-ζ)/(1+ζ))^20+0.028287235330936*((1-ζ)/(1+ζ))^22+0.025979075503585*((1-ζ)/(1+ζ))^24+0.024019115665297*((1-ζ)/(1+ζ))^26+0.022334101173471*((1-ζ)/(1+ζ))^28+0.02086997676321*((1-ζ)/(1+ζ))^30)/2)-(0.25*(1-ζ^2)^1+0.1640625*(1-ζ^2)^2+0.120442708333333*(1-ζ^2)^3+0.0948842366536458*(1-ζ^2)^4+0.0782020568847656*(1-ζ^2)^5+0.0664824962615967*(1-ζ^2)^6+0.0578063777514866*(1-ζ^2)^7+0.0511277645793078*(1-ζ^2)^8+0.0458295358550949*(1-ζ^2)^9+0.0415245529572978*(1-ζ^2)^10+0.0379578436926501*(1-ζ^2)^11+0.0349547161709425*(1-ζ^2)^12+0.0323915049813948*(1-ζ^2)^13+0.030178226673021*(1-ζ^2)^14)
下線が（７）式の第１項の式です。
以上が、第1種完全楕円積分の解説です。
Ｅｘｃｅｌへ直接コピーする式は、第１種完全楕円関数積分をＥｘｃｅｌ式よりコピーして下さい。
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