第1種完全楕円積分のランデン変換の導出を行います。式の変換が複雑なので、変換過程も残しておきました。
ランデン変換には、上昇ランデン変換と下降ランデン変換がありますので、両方の変換式を示します。
上昇ランデン変換および下降ランデン変換の式を示します。
上昇ランデン変換は、母数を上昇させ収束させる場合に用います。下降ランデン変換は、母数をゼロ近づけて収束させる場合に用います。
■上昇ランデン変換
（１）
（２）
■下降ランデン変換
（３）
（４）
（２）式から（４）式の導出は、別のところに書いています。
■ランデン変換の導出
（５）
が成り立つとき
（６）
この恒等式をランデン変換といいます。
ここから、ランデン変換を導出しますが、式の変換過程も残します。
まず、（５）式をθ、φの式として整理します。
（７）
ゆえに
（８）
三角関数の公式を使って（８）式から
、
の式にします。
（９）
（１０）
ここで
（１１）
とおくと、（９）、（１０）式は以下になります。
（１２）
（１３）
（１２）式の両辺をφで微分します。
（１４）
ゆえに
（１５）
（６）式の最初の項の分母をφの式にします。
（１６）
第1種不完全楕円積分の式に、（１５）、（１６）式を代入して整理します。
（１７）
（１８）
（１７）式と、（１８）式から
（１９）
ここで
（２０）
とすると（１９）式は以下のように整理できます。
（２１）
（５）式より
（２２）
（２２）式から、φが0からπ/2のとき、θは０からπの範囲で動きます。
（Excelで（２２）式を作成して、θを0からπまで変化させてみて下さい。）
従って、第1種完全楕円積分は、（１７）、（１８）式で
、
の場合となるので、
（２３）
（２４）
（２１）式に（２３）、（２４）式を代入すると、第1種完全楕円積分のランデン変換が導出されました。
（２５）
計算が長くなりましたが、いかがでしょうか。
■（２）式を（４）式に変換します。
（２）式の両辺を２乗して
（２６）
式を変形してk1の２次方程式として計算します。
（２７）
（２８）
（２９）
とすると（２９）式は
（３０）
（３１）
または 
（３２）
だから
（３３）
（３３）式は第1種完全楕円関数積分の数値計算に有用です。（ページの先頭に戻る）
このホームページで紹介する計算方法は、ご自由にお使いください。計算結果に関しましては、自己責任で確認をお願いします。
この計算方法を使用して発生した損害に関しては、責任を負いかねます。
